Backup full de cPanel e cel mai simplu.
Daca nu se poate (ca nu e spatiu sau crapa sau altele) se foloseste utilitarul imapcopy pentru tranferat de pe un server pe altul.

Sau G Suite Basic include 30GB stocare per user, e 4 euro + TVA / mailbox / luna si are Google tool de migrare (tot prin IMAP).

Dar rezolva "firma serioasa" de hosting, pe orice scenariu.